Задачи Перельмана

ДАЛЬНЯЯ СТРЕЛЬБА

Обстреливать противника с расстояния в сотню и более километров впервые начала германская артиллерия к концу империалистической войны (1918 г.). Англичане и французы в это время начали использовать авиацию. Германский штаб избрал другой, артиллерийский, способ поражать столицу Франции, удаленную от фронта не менее чем на 110 км. Способ этот был совершенно новый, никем еще не испытанный. Наткнулись на него немецкие артиллеристы случайно. При стрельбе из крупнокалиберной пушки под большим углом возвышения неожиданно обнаружилось, что вместо дальности в 20 км достигается дальность в 40 км. Почему так получилось?

Оказалось, что снаряд, посланный круто вверх с большой начальной скоростью, достигает тех высоких разреженных слоев атмосферы, где сопротивление воздуха весьма незначительно; в такой слабо сопротивляющейся среде снаряд пролетает значительную часть своего пути и затем круто опускается на землю. Рисунок наглядно показывает, как велико различие в путях снарядов при изменении угла возвышения.

ЧТО ТЯЖЕЛЕЕ?

На одну чашку весов поставлено ведро до краев наполненное водой. На другую точно — такое же ведро, тоже полное до краев, но в нем плавает кусок дерева. Какое ведро перетянет?

 

Оба ведра имеют одинаковый вес. Во втором ведре, правда, воды меньше, нежели в первом, потому что плавающий кусок дерева вытесняет некоторый ее объем. Но, по закону плавания, всякое плавающее тело вытесняет своей погруженной частью ровно столько жидкости (по весу), сколько весит все это тело. Вот почему весы и должны оставаться в равновесии.

БЕЗДОННАЯ ЯМА

О том, что делается в глубоких недрах нашей планеты, известно пока очень мало. Одни полагают, что под твердой корой в сотню километров толщины начинается огненно-жидкая масса; другие считают весь земной шар отвердевшим до самого центра. Решить вопрос трудно: ведь самая глубокая скважина простирается не глубже 7,5 км, самая глубокая шахта, в которую проник человек, расположена на глубине 3300 м, а радиус земного шара равен 6400 км. Если бы можно было просверлить через нашу планету сквозной колодец, прорезающий земной шар по диаметру, – тогда подобные вопросы были бы разрешены. Современная техника далека еще от возможности осуществления подобных предприятий, – хотя все прорытые в земной коре буровые скважины, взятые вместе, составили бы длину, превышающую диаметр нашей планеты. О прорытии сквозного туннеля через земной шар мечтали в восемнадцатом веке математик Мопертюи и философ Вольтер.

Ничего подобного, конечно, пока еще не сделано; но воспользуемся воображаемым бездонным колодцем, чтобы заняться одной любопытной задачей. Как вы думаете, что было бы с вами, если бы вы упали в такой бездонный колодец (о сопротивлении воздуха на время забудем)? Разбиться о дно вы не можете, дна здесь не существует, – но где же вы остановитесь? В центре Земли?Нет.

Когда вы долетите до центра, тело ваше будет иметь такую колоссальную скорость (около 8 км/сек), что об остановке в этой точке не может быть и речи. Вы промчитесь далее и будете нестись, постепенно замедляя движение, пока не поравняетесь с краями противоположного конца колодца. Здесь надо будет вам покрепче ухватиться за края, – иначе вы вновь проделаете прогулку через весь колодец до другого конца. Если и тут не удастся вам ухватиться за что-нибудь, вы опять полетите в колодец и будете качаться так без конца. Механика учит, что при таких условиях (если только, повторяю, пренебречь сопротивлением воздуха в колодце) тело должно качаться туда и назад вечно.

Какова была бы продолжительность одного такого качания? Оказывается, что весь путь туда и обратно занял бы 84 минуты 24 секунды, т.е. круглым счетом полтора часа.

ПРИСАСЫВАНИЕ КОРАБЛЕЙ

Осенью 1912 г. с океанским пароходом «Олимпик» – тогда одним из величайших в мире судов – произошел следующий случай. «Олимпик» плыл в открытом море, а почти параллельно ему, на расстоянии сотни метров, проходил с большой скоростью другой корабль, гораздо меньший, броненосный крейсер «Гаук». Когда оба судна заняли положение, изображенное на рисунке, произошло нечто неожиданное: меньшее судно стремительно свернуло с пути, словно повинуясь какой-то невидимой силе, повернулось носом к большому пароходу и, не слушаясь руля, двинулось почти прямо на него. Произошло столкновение. «Гаук» врезался носом в бок «Олимпика» удар был так силен, что «Гаук» проделал в борту «Олимпика» большую пробоину. 

Когда этот странный случай рассматривался в морском суде, виновной стороной был признан капитан гиганта «Олимпик», так как, – гласило постановление суда, – он не отдал никаких распоряжений уступить дорогу идущему наперерез «Гауку».

Суд не усмотрел здесь, следовательно, ничего необычайного: простая нераспорядительность капитана, не больше. А между тем, имело место совершенно непредвиденное обстоятельство: случай взаимного притяжения судов на море.

Такие случаи не раз происходили, вероятно, и раньше при параллельном движении двух кораблей. Но пока не строили очень крупных судов, явление это не проявлялось с такой силой. Когда воды океанов стали бороздить «плавучие города», явление притяжения судов сделалось гораздо заметнее; ним считаются командиры военных судов при маневрировании.

Многочисленные аварии мелких судов, проплывавших в соседстве с большими пассажирскими и военными судами, происходили, вероятно, по той же причине.

Чем же объясняется это притяжение? Когда два парохода плывут параллельно один другому, между их бортами получается как бы водяной канал. В обыкновенном канале стенки неподвижны, а движется вода здесь же наоборот: неподвижна вода, а движутся стенки. Но действие сил от этого нисколько не меняется: в узких местах подвижного канала вода слабее давит на стенки, нежели в пространстве вокруг пароходов. Другими словами, бока пароходов, обращенные друг к другу, испытывают со стороны воды меньшее давление, нежели наружные части судов. Что же должно произойти вследствие этого? Суда должны под напором наружной воды двинуться друг к другу, и естественно, что меньшее судно перемещается заметнее, между тем как более массивное остается почти неподвижным. Вот почему притяжение проявляется с особенной силой, когда большой корабль быстро проходит мимо маленького.

ПТИЦЫ НА ПРОВОДАХ

Все знают, как опасно для человека прикосновение к электрическим проводам трамвая или высоковольтной сети, когда они под напряжением. Такое прикосновение смертельно для человека и для крупных животных. Известно много случаев, когда лошадь или корову убивает током, если их задевает оборвавшийся провод.

Чем же объяснить то, что птицы спокойно и совершенно безнаказанно усаживаются на оголенные провода? Подобные картинки можно часто наблюдать в городах.

Чтобы понять причину подобных противоречий, примем во внимание следующее: тело сидящей на проводе птицы представляет собой как бы ответвление цепи, сопротивление которого по сравнению с другой ветвью (короткого участка между ногами птицы) огромно. Поэтому сила тока в этой ветви (в теле птицы) ничтожна и безвредна. Но если бы птица, сидя на проводе, коснулась столба крылом, хвостом или клювом — вообще каким-нибудь образом соединилась с землей, — она была бы мгновенно убита током, который устремился бы через ее тело в землю. Это нередко и наблюдается.

ЗАМОК С СЕКРЕТОМ

В одном советском учреждении был обнаружен несгораемый шкаф, сохранившийся дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но, чтобы им воспользоваться, надо было знать секрет замка: дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на ободах (33 буквы) устанавливались на определенное слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкаф, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требуется три секунды. Можно ли надеяться, что шкаф откроют в течение 10 рабочих дней?

Подсчитаем, сколько всего буквенных комбинаций надо будет перепробовать. Каждая из 33 букв первого кружка может сопоставляться с 33 буквами второго кружка. Значит, число комбинаций равно 33*33=332. Таким образом, число пятибуквенных комбинаций равно 335 или 39135393. Если на каждую комбинацию потратить по 3 секунды, то на это уйдет более 30000 часов или 4000 восьмичасовых рабочих дней. Для этого придется провести на работе более 10 лет.

ГАЛКИ И ПАЛКИ

Прилетели галки Сели на палки.

Если на каждой палке

Сядет по одной галке,

То для одной галки

Не хватит палки.

Если же на каждой палке

Сядет по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было палок?

Чтобы выполнить все условия, необходимо чтобы 4 галки садились на 3 палки.

ТОЛСТОЕ И ТОНКОЕ СТЕКЛО

Вы, вероятно, замечали, что стаканы для холодных напитков часто делаются с толстым дном. Понятно, для чего: такой стакан устойчив и его трудно опрокинуть. Почему же такая посуда не используется для горячих напитков, ведь очень важно, чтобы такой стакан не опрокидывался?

Стаканы с толстым дном не употребляются для горячих напитков потому, что стенки таких стаканов от горячей жидкости прогреваются и расширяются сильнее, чем толстое дно. Подобная посуда непрактична для чая: она растрескивается. Чем тоньше посуда и чем меньше разница в толщине стенок и дна, тем нагревание посуды равномернее и тем лучше она предохраняется от растрескивания.

ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ 

О “вечном двигателе”, “вечном движении” часто говорят и в прямом и в переносном смысле слова, но не все отдают себе отчет, что, собственно, надо подразумевать под этим выражением. Вечный двигатель – это такой воображаемый механизм, который безостановочно движет сам себя и, кроме того, совершает еще какую-нибудь полезную работу (например, поднимает груз). Такого механизма никто построить не смог, хотя попытки изобрести его делались уже давно. На рисунке вы можете видеть пример такого двигателя.

Почему же расчет изобретателя не оправдывается?

Вот почему: хотя грузы на правой стороне всегда дальше от центра, но неизбежно такое положение, когда число этих грузов меньше, чем на левой. Взгляните на рисунок: справа всего 4 груза, слева же – 8. Оказывается, что вся система уравновешивается; естественно, что колесо вращаться не станет, а, сделав несколько качаний, остановится в таком положении.

ГДЕ ЛЕГЧЕ ВСЕГО?

Земной шар, на котором мы живем, вращается, и вследствие вращения все вещи на его поверхности становятся легче. Если килограммовую гирю перенести с полюса на экватор и здесь вновь взвесить на пружинных весах, то обнаружится нехватка в весе на 5 г. Разница невелика, конечно, но чем тяжелее вещь, тем нехватка крупнее. Паровоз, приехавший из Архангельска в Одессу, становится здесь легче на 60 кг – вес взрослого человека. А линейный корабль в 20 тыс. тонн, прибывший из Белого моря в Черное, теряет здесь в весе ни мало, ни много – 80 тонн; это вес хорошего паровоза!

Отчего так происходит? Оттого, что земной шар, вращаясь, стремится разбросать со своей поверхности все вещи. Земной шар и скинул бы их, но этому мешает то, что он притягивает все вещи к себе. Мы называем это притяжение «тяжестью». Скинуть вещи с Земли вращение не может, а уменьшить их вес может. Вот почему вещи становятся немного легче.

УЧИТЕЛЬ И УЧЕНИК

То, что описано далее, произошло, говорят, в Древней Греции. Учитель мудрости, софист Протагор, взялся обучить молодого Квантла всем приемам адвокатского искусства. Между учителем и учеником было заключено условие, по которому ученик обязался уплатить своему учителю вознаграждение тотчас же после того, как впервые обнаружатся его успехи, то есть после первой же выигранной им тяжбы.

Квантл прошел уже весь курс обучения. Протагор ожидает платы, но ученик не торопится выступить на суде. Как быть? Учитель, чтобы взыскать с ученика долг, подал на него в суд. Он рассуждал так: если дело будет истцом выиграно, деньги должны быть взысканы на основании судебного решения; если же тяжба будет истцом проиграна и, следовательно, выиграна ответчиком, то деньги опять-таки должны быть уплачены Квантлом по уговору — платить после первой же выигранной учеником тяжбы.

Однако ученик считал тяжбу Протагора, напротив, совершенно безнадежной. Он, как видно, действительно кое-что перенял у своего учителя и рассуждал так: если его присудят к уплате, то он не должен платить по уговору — ведь он проиграл свою первую тяжбу; если же дело будет решено в пользу ответчика, то и тогда он не обязан платить — на основании судебного решения.

Настал день суда. Судья был в большом затруднении. Однако после долгого размышления он нашел выход и вынес решение, которое, не нарушая условий уговора между учителем и учеником, давало учителю возможность получить свое вознаграждение.

Приговор был таков: учителю в иске отказать, но предоставить ему право возбудить дело вторично на новом основании, именно на том, что ученик выиграл свою первую тяжбу. Эта вторая тяжба должна быть решена уже бесспорно в пользу учителя.

ВОДЯНОЕ КОЛЕСО

Колесо с лопастями устанавливается около дна реки так, что оно может легко вращаться. В какую сторону оно будет вращаться, если течение реки направлено справа налево?

Колесо будет вращаться против движения часовой стрелки. Скорость течения глубже лежащие слоев воды меньше, чем скорость слоев, лежащих выше, следовательно, давление на верхние лопасти будет больше, чем на нижние.